Der Satz von Bayes

Geschrieben und geprüft von der Psychologin Paula Villasante.

Letzte Aktualisierung: 17. Februar 2023

Der Satz von Bayes ist eine der tragenden Säulen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es handelt sich um eine Theorie von Thomas Bayes, der von 1702-1761 lebt. Aber was genau versuchte der Wissenschaftler zu erklären? Die Wahrscheinlichkeit drückt in einem zufälligen Prozess das Verhältnis zwischen der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl der möglichen Fälle aus.

So sind viele Theorien, die uns heute leiten, um die Wahrscheinlichkeit herum entwickelt worden. Wenn wir zum Arzt gehen, verschreibt er uns, was am wahrscheinlichsten zu uns passt. Die Werbetreibenden widmen ihre Kampagnen den Menschen, die am ehesten das Produkt kaufen werden, das sie bewerben. Wir wählen den Weg, der wahrscheinlich am wenigsten Zeit in Anspruch nehmen wird.

Eines der berühmtesten Wahrscheinlichkeitsgesetze ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Zuerst müssen wir berücksichtigen, worum es beim Satz der totalen Wahrscheinlichkeit geht, und um das zu verstehen, nehmen wir ein Beispiel vor.

Nehmen wir an, dass in einem beliebigen Land 39 % der Bevölkerung Frauen seien. Wir wissen auch, dass 22 % der Frauen und 14 % der Männer arbeitslos sind. Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit (P), dass eine zufällig ausgewählte Person aus der erwerbstätigen Bevölkerung in diesem Land arbeitslos ist?

Gemäß der Wahrscheinlichkeitstheorie würden die Daten wie folgt ausgedrückt:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person eine Frau ist: P(F)
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person ein Mann ist: P(M)

Wenn wir wissen, dass 39 % der Bevölkerung Frauen sind, dann schließen wir das: P(F) = 0,39. Daraus folgt, dass P(M) = 1 – 0,39 = 0,61.

Auf die Frage nach der Arbeitslosigkeit erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeiten als Antworten:

• Wahrscheinlichkeit, dass eine weibliche Person arbeitslos ist: P (P|F) = 0,22
• Wahrscheinlichkeit, dass eine mannliche Person arbeitslos ist: P (P|M) = 0,14

Auf diese Weise gelangen wir unter Verwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit zu folgenden Aussagen:

P(P) = P(F) × P(P|F) + P(M) × P(P|M)

P(P) = 0,39 × 0,22 + 0,61 × 0,14

P(P) = 0,17

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person arbeitslos ist, beträgt also 0,17 oder 17 %. Wir sehen, dass das Ergebnis zwischen den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten liegt (0,22<0,17<0,14). Darüber hinaus ist es näher an der für Männer angegebenen Quote, weil sie in der Bevölkerung dieses erfundenen Landes die Mehrheit bilden.

Der Satz von Bayes

Nun, nehmen wir an, du wählst zufällig einen Erwachsenen, der ein Formular ausfüllt, und dir fällt auf, dass er keinen Job hat. Wie hoch ist in diesem Fall und unter Berücksichtigung des obigen Beispiels die Wahrscheinlichkeit, dass diese zufällig ausgewählte Person eine Frau ist? Wir suchen nach P(F|P).

Um dieses Problem zu lösen, wollen wir den Satz von Bayes anwenden. Dieser Satz findet Anwendung, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, wenn im Vorfeld bereits Informationen über dieses Ereignis vorliegen. Wir können die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A berechnen, wobei wir wissen, dass das Ereignis A eine bestimmte Eigenschaft B erfüllt, die seine Wahrscheinlichkeit bestimmt.

In diesem Fall sprechen wir von der Wahrscheinlichkeit, dass die Person, die zufällig ausgewählt wurde, um ein Formular auszufüllen, eine Frau ist. Darüber hinaus ist diese Wahrscheinlichkeit nicht unabhängig davon, ob die ausgewählte Person arbeitslos ist oder nicht.

Die Formel von Bayes

Wie bei jedem anderen Theorem benötigen wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eine Formel. Bei dieser Art von Ereignis ist die Formel wie folgt definiert:

Diese Formel scheint kompliziert zu sein, hat aber eine einfache Erklärung. Gehen wir in Schritten vor. Was bedeutet jeder Buchstabe?

• Zunächst einmal ist B das Ereignis, über das wir vorab informiert sind.
• Das Symbol A(n) bezieht sich auf die verschiedenen bedingten Ereignisse.
• Im Zähler ist die bedingte Wahrscheinlichkeit beschrieben. Diese bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn auch Ereignis B eintritt. Es ist definiert als P(A|B) und ausgedrückt als: die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B gegeben ist.
• Im Nenner haben wir das Äquivalent von P(B). Siehe den vorherigen Punkt.

Ein Beispiel:

Um auf das vorherige Beispiel zurückzukommen: Nehmen wir an, dass ein Erwachsener nach dem Zufallsprinzip ausgewählt wird, um einen Fragebogen auszufüllen, und es wird festgestellt, dass er keinen Job hat, also arbeitslos ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser zufällig ausgewählten, arbeitslosen Person um eine Frau handelt?

Nun, unter Berücksichtigung des vorherigen Beispiels wissen wir, dass 39 % der Bevölkerung Frauen sind. Wir wissen also, dass der Rest Männer sind. Darüber hinaus wissen wir, dass der Anteil der arbeitslosen Frauen 22 % und der Männer 14 % beträgt.

Schließlich wissen wir auch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person arbeitslos ist, 17 % beträgt. Wenn wir also die Formel von Bayes anwenden, ist das Ergebnis, das wir erhalten, dass die Wahrscheinlichkeit 0,5 beträgt, dass eine zufällig ausgewählte Person von all denen, die arbeitslos sind, eine Frau ist.

P(F|P) = (P(F) = P(P|F)/P(P)) = (0,22 × 0,39) / (0,39 × 0,22 + 0,61 × 0,14) = 0,5

oder

P(F|P) = (P(F) = P(P|F)/P(P)) = (0,22 × 0,39) / 0,17 = 0,5

Wir beenden diesen Artikel über die Wahrscheinlichkeit, indem wir auf eine der häufigsten Verwirrungen über selbige hinweisen. Diese schwankt zwischen 1 und 0 und geht nie über diese Margen hinaus; dabei ist 1 die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses und 0 die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses.